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La résolution numérique est assez rapide. Pour des fonctions anisotropes, le nombre de flux nécessaires devient rapidement un facteur limitant pour les temps de calcul. Dans cette méthode, la matrice de phase décrivant le milieu traversé doit impérativement être écrite sous forme de polynômes de Legendre.

Il est constitué par l couches successives unidimensionnelles. Les coefficients de Fresnel sr et pr et la construction de ces matrices sont définis dans l'annexe A de ce chapitre. Annexe B. Nous revenons plus en détail sur la génération de la quadrature, sa modification et le traitement du cône de réfraction dans les annexes de ce chapitre.

En la décomposant à l'identique de la luminance diffuse, le terme source lié au collimaté se scinde lui aussi en une contribution montante et en une contribution descente. Nous avons déjà introduit ces notions lors de la présentation du formalisme de Stokes cf.

Les vecteurs de Stokes incident et diffusé sont projetés selon les axes de polarisation Pu r et Su r perpendiculaires au vecteur de propagation. Le calcul de la diffusion[42] est toujours effectué dans le plan de diffusion surface grisée sur la Figure La matrice de phase est alors appliquée au vecteur incident.

Pour des particules orientées aléatoirement et possédant un plan de symétrie, la matrice de phase se simplifie et est diagonale par blocs cf. Chapitre I. On traite ce vecteur en adoptant la même démarche que celle développée pour la luminance diffuse. Le vecteur cL r se sépare en une composante montante et en une composante descendante. Ces différentes contributions se calculent à partir des conditions limites écrites pour les interfaces supérieure et inférieure de chaque couche : elles tiennent compte des éventuelles réflexions multiples.

Ces angles se déduisent de proche en proche depuis la direction incidente de la luminance collimatée dans la couche externe cf. Dans ces conditions, seuls incI et incQ sont non nuls.

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Le vecteur de Stokes diffusé cf. La méthode de résolution reste valable quel que soit le mode de Fourier m considéré. Dans les. Les résultats sont obtenus pour chacun de ces angles et leur interprétation physique est possible à chaque étape du processus. De conception simple, cette méthode est stable numériquement, même pour des épaisseurs optiques assez grandes. Le milieu initialement caractérisé par sa matrice de phase matrice de Mueller est considéré comme étant suffisamment fin pour que la diffusion multiple y soit négligeable.

La détermination des matrices locales R et T en diffusion simple est donnée par van de Hulst[35]. Par convention pour la méthode IGI, les termes sources descendant et montant sont définis respectivement en haut et en bas de la couche i.

Dans le cas du collimaté, les termes sources font donc intervenir la luminance collimatée en haut et en bas de cette couche. Il suffit maintenant de généraliser cette procédure aux l couches homogènes constituant le milieu en prenant en compte les interfaces. Pour cela, une méthode de type adding est utilisée. Si cette couche est non diffusante, les sources sont nulles.

Figure Elles sont calculées pour tous les angles de la quadrature et sont valables quel que soit le mode de Fourier considéré. Les matrices de cette nouvelle couche sont définies à partir des matrices de Fresnel r et t données en annexe :.

On remarquera que cette démarche reste vraie lorsque les indices sont constants entre deux couches homogènes : seules les matrices intR et intT se simplifient en étant respectivement nulle et égale à la matrice identité. Ces relations se généralisent aux luminances diffuses et intègrent les termes sources cf.

Les conditions aux limites sont appliquées pour calculer quel que soit m la luminance diffusée en utilisant le formalisme de Stokes cf. Pour toutes ces raisons, un code Monte Carlo MC3D résolvant le transfert radiatif polarisé en géométrie 3D cartésienne ou cylindrique est développé.

Nous reviendrons sur ce point dans le chapitre IV. La source d'éclairement est supposée continue bien que l'outil développé puisse être étendu à une source impulsionnelle. Plus le nombre de photons est important, plus le résultat se rapproche de la solution exacte. Réflexion et transmission au passage des interfaces. Détection sur la dernière interface Le photon est détecté en fonction de la géométrie : détection en champ proche ou en champ lointain. Ces grandeurs sont moyennées et considérées comme étant constantes dans un volume dV quelconque.

On associe à chaque photon un vecteur de Stokes et un poids. Numériquement, sa modélisation prend plusieurs formes : la source peut être ponctuelle, rectangulaire ou gaussienne.

Pour ces deux derniers cas, la position du photon dans le faisceau est tirée aléatoirement. Seuls les phénomènes de collision absorption ou diffusion sont indépendants de cette géométrie. Dans notre étude, nous différencions la géométrie cartésienne qui permet de simuler des milieux. Il met en évidence les phénomènes de diffusion en utilisant le formalisme de Stokes.

Cette notation est volontairement semblable au code de transfert radiatif 1D développé au début de ce chapitre. On remarquera que les plans définissant les différentes couches du milieux sont tous parallèles au plan , yx eOe rr.

Dans le repère absolu, tout point M est représenté par ses coordonnées , MMM zyx et tout vecteur v r par ses coordonnées zyx vvv. La propagation du photon est liée au tirage de nombres aléatoires et à leur comparaison avec des grandeurs physiques caractérisant le milieu. Diffusion Interface ouinon Absorption? La démarche développée par la suite se généralise aux interfaces latérales dont la normale est fixée par les autres axes du repère.

Les relations de Snell-Descartes sont appliquées pour déterminer les vecteurs de propagation réfléchis rk r ou transmis tk r. Par considérations géométriques cf. Les vecteurs de Stokes transmis ou réfléchi correspondent à la multiplication du vecteur incident par la matrice r ou t normalisée par son premier terme. Dans un premier temps, le photon est considéré comme étant transmis : son vecteur de Stokes et son poids sont modifiés.

Le vecteur de Stokes est modifié et le poids est multiplié par interfaceR. Les réflexions multiples dans cette structure sont prises en compte en calculant les matrices de réflexion et de transmission équivalentes. Ce calcul nécessite le passage dans le repère lié à la particule puis, par une méthode de réjection des angles, à la projection du vecteur propagation diffusé dans le repère absolu. Pour cela, la nouvelle position du photon interfaceM r sur la plus proche interface est calculée à partir de sa position initiale et du vecteur k r.

Dans le cas contraire, il se propage à nouveau dans le milieu avec un nouveau vecteur k r. Sinon, le poids du photon est divisé par roulettex et le photon est diffusé.

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La diffusion est calculée dans le repère local lié à la particule : la démarche évoquée dans le code METROPOL et les matrices de passage iL décrites auparavant restent valables.

Un repère local , incji kee rrr est construit. Les grandeurs liées à chaque photon atteignant le détecteur et accessibles par cette modélisation sont le vecteur de Stokes, le flux diffusé ou poids et le type de détection photon diffus, absorbé, de type spéculaire ou collimaté. Un maillage angulaire pour les plans zénithaux et azimutaux est défini et les photons poids et vecteurs de Stokes sont comptabilisés dans ce maillage puis normalisés par le nombre de photons lancés.

Position quelconque du détecteur En champ lointain, la position du capteur dans le repère global ,, zyx eeeO rrr est quelconque. La surface de détection est repérée dans ce repère par sa normale n r. Dans le cas contraire, ils sont considérés comme étant perdus.

Photon perdu Capteur Photon détecté n rxe r ye r ze r Figure 20 — Procédure de détection en champ lointain. Les codes Monte Carlo sont principalement utilisés pour générer des données de référence lorsque la géométrie est plus complexe.

Nous reviendrons plus loin sur le passage du code Monte Carlo 3D en géométrie cylindrique. Cette évolution faisant partie des perspectives de travail, nous la décrivons en annexe du rapport. Cette étape nécessite la confrontation des luminances diffusées avec des résultats bibliographiques solutions analytiques par exemple.

Nous verrons que cette étude est rapidement limitée par les faibles quantités de données publiées dans ce domaine.

La quadrature numérique cf. Les travaux de L. Le premier élément de la matrice de diffusion 11M est représenté par une fonction de phase modèle simple de type double Henyey-Greenstein. Les résultats obtenus par méthode stochastique ou déterministe corroborent bien ceux présentés dans la littérature[30] cf.

Figure 22a. Comme une surface lambertienne dépolarise totalement la lumière, seul le premier terme du vecteur de Stokes est pris en compte. Les résultats sont identiques quels que soient les conditions initiales et le milieu étudié. Pour cette étude, on considère des particules de latex mises en solution aqueuse dans une cuve de quartz géométrie plane.

Figure 24 pour différents états de la polarisation. Le comportement angulaire de la fonction de phase premier élément de la matrice de diffusion est retrouvé sur ce premier graphique. La présence du cône de réfraction entre les deux interfaces explique la nouvelle répartition angulaire avec un étalement des pics de transmission et de rétrodiffusion de la fonction de phase. Il est représenté sur la Figure Au-delà de ce domaine, le passage des interfaces et la zigaretten cellulite par les particules introduisent une dépolarisation plus importante de la luminance.

Les mêmes simulations ont été effectuées avec le code Monte Carlo en géométrie cartésienne et conduisent à des résultats identiques. Nous allons maintenant comparer les deux outils développés dans des configurations géométriques plus complexes présence de multiples interfaces, par exemple. Peu de travaux ont été conduits en optique polarisée, pour des milieux réels ayant une granulométrie bien définie.

En symétrie azimutale i. Figure 26ad. On notera que les temps de calculs sont limitant pour les codes stochastiques. Par définition, le code Monte Carlo intègre le nombre de photons sur un angle solide donné par la taille du détecteur. Les résultats sont présentés sur les deux pages suivantes et dénotent entre les deux codes un bon accord pour les deux premiers éléments du vecteur de Stokes.

Dans les deux cas, les temps de calcul deviennent rapidement des facteurs limitant pour réaliser une étude approfondie. On considère des milieux unidimensionnels de particules de latex en solution aqueuse dans des cuves plates. A partir de simulations Monte Carlo faites pour les différents états de la base du vecteur de Stokes, nous étudions le comportement global du matériau avec ou sans interface.

La Figure 29 est obtenue pour un milieu de faible épaisseur optique sans interface où les particules de latex sont simplement plongées dans un milieu aqueux.

Ces deux composantes sont fortement modifiées par les interfaces de la cuve. Nous venons de voir que les deux derniers états i. De plus, les méthodes expérimentales privilégient le plus souvent des montages en polarisation croisée. Le milieu est ensuite placé entre deux lames de verre. La répartition angulaire du vecteur de Stokes diffusé cf. Figure 32 est également modifiée par les matrices de Fresnel des interfaces.

En diffusion multiple, on constate un.

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Seule la partie transmise du taux de dépolarisation reste encore sensible aux rides bouche ajaccio horaires épaisseurs optiques.

Ce phénomène est essentiellement dû à la diffusion volumique puisque les mêmes constatations sont faites sur un milieu sans interface. Seuls les niveaux des différentes courbes sont modifiés. Ces coefficients dépendent fortement des indices des particules et du liant. Figure 34b. On observe uniquement un changement de niveau. En effet, plus l'albédo diminue, moins la diffusion intervient dans le processus de dépolarisation.

On tend alors vers la polarisation incidente. Le tableau suivant présente les différents indices que nous pouvons choisir pour obtenir des albédos inférieurs à 1 équivalents au cas précédent. Cette fois-ci, la matrice de Mueller est modifiée. Chapitre III. Le second résout le transfert radiatif polarisé par une approche de type Monte Carlo. Ainsi validés, nous pouvons les utiliser à des fins particulières.

Notre unique contrainte imposée concerne la polarisation incidente qui doit être rectiligne ou non-polarisée. Même si cette approche demeure en général limitée à une comparaison ponctuelle, elle apporte néanmoins une information fondamentale permettant de mieux appréhender les phénomènes mis en jeu. Pour toutes ces raisons, une approche par identification des paramètres est donc proposée et est décrite dans ce chapitre. En appliquant la méthode des moments angulaires développée par Chandrasekhar[34] et en utilisant les fonctions intégrantes de luminance[70]une erreur est commise sur la détermination des paramètres[71][72].

Pour diminuer les temps de calcul et converger vers des solutions proches de la réalité, la dimension de x r doit être adaptée au minimum de paramètres nécessaire à une bonne modélisation des propriétés physiques du matériau.

Les travaux conduits par Sanchez et al. Nous allons dans ce paragraphe étudier les solutions envisageables. Classiquement, la matrice de Mueller est représentée par sa décomposition dans la base des polynômes de Legendre. En effet, le nombre requis du polynôme peut être important pour bien représenter un seul des termes de la matrice. La troncature des fonctions de phase est couramment employée pour parvenir à cette fin. Nous regardons son utilisation potentielle pour la matrice de Mueller, sans oublier que le nombre total de paramètres est à multiplier par le nombre de termes de la matrice non nuls.

Nous regardons alors la généralisation de cette approche au cas polarisé.

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Ce nombre de termes peut être néanmoins très élevé si la fonction présente un caractère très anisotrope ou des oscillations marquées. On définit[79] le coefficient de troncature 11f pour le premier élément de la matrice de diffusion à partir de la fonction tronquée tr M11 et non tronquée 11M. La plupart des erreurs entre la fonction de phase et sa représentation par un nombre fini de coefficients se situent pour des grands angles de diffusion. La méthode MS [83] est basée sur la séparation des rayonnements provenant de la diffusion multiple et de la diffusion simple.

La luminance tr L1 r issue de la diffusion simple est beaucoup plus affectée par ces oscillations que celle issue de la diffusion multiple. Les problèmes rencontrés pour les grands angles de diffusion sont supprimés et le nombre de coefficients calculés est réduit tout en améliorant la précision et les temps de calcul. On définit les variables suivantes :. Dans les autres cas i. Figure 38a et de diminuer les temps de calcul.

Dans la décomposition en série de Legendre, un nombre minimum de coefficients est donc nécessaire pour modéliser correctement les fonctions de phase. Figure 38 — Fonction de phase non-tronquée, réduction du nombre de coefficients de Legendre. Le nombre de coefficients de Legendre sera limité à 23 pour obtenir le plus de précision possible sur la luminance diffusée. Cette décomposition ne modifie pas les niveaux de diffusion, seul le comportement angulaire est changé par rapport à la diffusion réelle.

Une attention particulière sera donc portée sur le nombre de termes à prendre en compte pour limiter les temps de calculs sans détériorer les fonctions de phase. Chami M. Nous ne développerons pas ici les travaux de Chami M. La luminance qui est diffusée après la troncature de la matrice de Mueller à 16 termes au lieu de 25 est représentée sur la Figure Des oscillations commencent à apparaître et ne permettent pas de descendre en dessous de ce nombre de coefficients.

Ainsi, les temps de calculs pour une itération i. Enfin, chacun des groupes de paramètres utilisés pour chaque terme de la matrice de diffusion ne saurait être indépendant des autres. En effet, toutes les fonctions de la matrice de Mueller sont reliées entre elles. Nous allons regarder si cette démarche régulièrement appliquée en optique non polarisée, peut être adaptée avec des données polarisées i.

Pour des milieux anisotropes, le nombre de termes à identifier est réduit si les fonctions de phase de type double Henyey Greenstein notées dHG[75] 3 termes ou de type Nicolau 4 ou 5 termes sont employées. Nicolau[84] ajoute à cette combinaison linéaire une composante isotrope 4 termes. Sur le même principe, on crée deux autres fonctions : Nicolau à extension Rayleigh composante de type Rayleigh, 4 termes et Nicolau à extension linéaire composante anisotrope linéaire, 5 termes. Figure 40 — Fonction de phase réelle et fonctions modèles ajustées.

Ce type de fonctions modèles ne permet pas de représenter fidèlement le calcul de Mie, notamment en rétrodiffusion où les variations angulaires disparaissent cf. Avec 5 termes, la fonction de Nicolau à extension linéaire est également représentée sur la Figure précédente. Les matrices de diffusion non polarisées sont représentées par le premier terme 11M les autres étant arbitrairement nuls.

Toutefois, ces courbes ne correspondent pas au calcul effectué avec une fonction de phase réelle calcul de Mie et conditions de calcul identiques i. Le changement du niveau de la BRDF est suffisant pour entraîner une erreur certaine sur la détermination des paramètres radiatifs. La luminance diffusée est essentiellement modifiée pour les angles proches de la normale.

En transmission, cette différence est due au fait que les fonctions analytiques ne modélisent pas parfaitement le pic avant de notre fonction de phase. Nous reviendrons sur ce point ultérieurement. De plus, le nombre de paramètres à prendre en compte en optique polarisée devient rapidement important. Par exemple, dans le cas précédent, un minimum de 3 paramètres par élément non nul de la matrice de diffusion serait nécessaire. Il est aussi à noter que la paramétrisation de tel ou tel terme de la matrice de Mueller soulèverait des questions quant aux relations entre es différents jeux de paramètres retrouvés.

En effet, physiquement, les différents termes de la matrice de Mueller ne sont pas indépendants. Autrement dit, une optimisation de ces paramètres devrait vérifier un certain nombre de contraintes pour que la solution finale de la matrice de Mueller corresponde à une réalité physique. Néanmoins, elle requiert des hypothèses faites sur ces paramètres microphysiques. La morphologie des particules est aussi imposée et ne nous permet de considérer que le cas de particules sphériques équivalentes.

Tous les autres paramètres indice, type de loi de la distribution en taille… sont supposés invariants. On notera que dans un premier temps, nous nous limiterons à une granulométrie monodisperse. La minimisation des dépendances entre chacun des paramètres représente le défi de notre étude par rapport aux méthodes non polarisées existantes. Sanchez et al. Les différences ex anti cellulite quebec sont utilisées pour effectuer ce calcul.

Dans ce cas, la représentation des coefficients par une relation linéaire est impossible et le système est bien conditionné. Le nombre de conditionnement cN introduit par Hensel[88] représente le degré de conditionnement de cette matrice.

En relation avec la partie expérimentale, nous choisissons de modéliser des particules sphériques de latex dans un milieu aqueux. Cette sensibilité est constante sur un grand domaine angulaire pour des épaisseurs optiques inférieures à 5 ; au-delà de cette valeur, la sensibilité diminue.

En effet, nous tendons vers une diffusion isotrope et la BRDF tend vers une valeur seuil. Dans ce dernier cas, il sera nécessaire de distinguer les deux intervalles décrits précédemment. Cette sensibilité est relativement constante sur un large domaine angulaire i. Les codes de Lorenz-Mie permettent de calculer la matrice de diffusion pour chaque angle de la quadrature numérique.

Nous avons choisi de nous focaliser sur ce paramètre. Nous regarderons cet effet ultérieurement. Dans cette étude de sensibilité, seule la matrice de diffusion est modifiée via le rayon des particules. Nous avons déjà montré dans le chapitre précédent que les pics de transmission des fonctions de phase dépendaient fortement de la valeur du rayon moyen des diffuseurs pony rides gold coast. On retrouve ici ce comportement avec une forte sensibilité pour le domaine angulaire correspondant.

On peut noter aussi une forte sensibilité pour des rayons importants autour des directions de transmission et de rétrodiffusion.

En effet, la diffusion multiple lisse les effets des autres paramètres et diminue leur sensibilité. En polarisation rectiligne, certains domaines angulaires viennent compléter ceux déjà donnés pour un éclairement non polarisé. Dans ces conditions, les domaines angulaires à retenir sont répertoriés dans le Tableau 5. On peut en particulier constater deux zones en réflexion ou en transmission où la sensibilité est faible et qui correspondent aux secteurs de diffusion voisins des pics spéculaire ou collimaté définis dans le matériau.

En effet, on recompose difL r sur une base en sinus pour les deux derniers termes du vecteur de Stokes. Néanmoins, cette généralisation nécessiterait une étude plus approfondie. Figure 46a. On retrouve un comportement voisin du cas polarisé rectilignement cf. Figure 53c et d. Dans les autres plans de diffusion, les luminances ne sont pas accessibles expérimentalement. Le processus itératif est stoppé lorsque la valeur de chaque paramètre converge vers une unique solution.

Ainsi, la méthode du simplex élaborée par Dantzig[] permet de résoudre des systèmes linéaires de plusieurs milliers de variables. Les méthodes dites de Levenberg-Marquardt[] et de RSNR[] Ridge Stabilized Newton Raphson sont fiables et convergent généralement après quelques itérations vers une solution précise. Elles sont assez fiables quand il y a peu de valeurs initiales et fonctionnent bien avec des contraintes. Ces deux méthodes sont respectivement une méthode de gradients conjugués et une méthode de type quasi-Newton.

Contrairement à la méthode de type quasi-Newton[31]la méthode du gradient conjugué[87] utilise un espace mémoire plus faible mais est plus lente et parfois moins fiable.

A la base, Fleetcher et al. Le bon déroulement de la méthode ne dépend pas du calcul de la dérivée seconde. La nouvelle fonction xmk est approximativement minimisée en appliquant dans un premier temps une méthode de projection des gradients pour la borner.

Ensuite, lors de la minimisation de xmkon considère ces bornes comme étant les contraintes du système. On utilise la méthode de Cauchy généralisée pour obtenir le premier minimum local souvent noté c x dans cette direction de descente. Nous ne détaillons pas ici la détermination de cette matrice qui fait partie des méthodes classiques de calcul et qui est évoquée dans les travaux de Byrd et al[97]. Les travaux de Calamai et al. Ces oscillations sont liées à la méthode qui est indépendante de la structure du problème étudié.

Les temps de calcul pour obtenir une convergence se sont avérés très longs par rapport aux autres méthodes. Lorsque la polarisation de la luminance diffusée est considérée, le vecteur de Stokes peut être utilisé dans son intégralité pour définir plusieurs fonctions. Tableau 5. Deux jeux de fonctions 1 jF et 2 jF sont donc définis à partir de deux expressions du facteur correctif ia.

Ce facteur correctif cf. Ce type de fonction est en général utilisé dans la caries dental resumen des travaux en identification des paramètres radiatifs optique non polarisée. En effet, si une fonction est très supérieure à la somme des autres, la méthode va privilégier sa réduction. Dans ce cas, elle se maintient pour les paramètres restants. Ces deux cas de figure représentent la quasi-totalité des convergences observées.

Les deux fonctions 1 jF et 2 jF sont testées dans notre démarche. Différents cas tests sont conduits. Il ya plusieurs raisons pour lesquelles vous voudrez peut-être visiter un chiropraticien à Walden, surtout si vous travaillez dans un travail qui exige beaucoup d'efforts physiques.

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